Durée: 12 mois
Rubrique: Analyste des Risques
Les théorèmes limites occupent une place centrale en théorie des probabilités et en statistique. Ils fournissent les bases théoriques pour comprendre le comportement des sommes et des moyennes de grandes quantités de variables aléatoires. Parmi ceuxci, les deux plus importants sont la loi des grands nombres (LGN) et le théorème central limite (TCL).
La loi des grands nombres affirme que, sous certaines conditions, la moyenne arithmétique d'une suite de variables aléatoires identiquement distribuées et indépendantes (i.i.d.) converge vers l'espérance mathématique de ces variables. Il existe deux formes principales de la LGN :
La LGN est particulièrement utile pour la convergence de la moyenne d'échantillon vers la moyenne de la population, ce qui explique pourquoi on peut utiliser des moyennes d'échantillons pour estimer des moyennes de populations.
Le théorème central limite soutient que, indépendamment de la distribution originale des variables aléatoires, la somme de plusieurs variables i.i.d., lorsque normalisée, converge en distribution vers une distribution normale. Formellement, si (X1, X2, \ldots, Xn) sont des variables aléatoires i.i.d. avec espérance (\mu) et variance (\sigma^2), alors la distribution de [ \frac{\sum{i=1}^n Xi n\mu}{\sigma\sqrt{n}} ] approche une distribution normale standard (N(0,1)) lorsque (n \to \infty).
Ce théorème justifie l'usage généralisé de la distribution normale en statistiques et rend plausible l'application des techniques d'inférence statistique même lorsque les données originales ne sont pas normalement distribuées.
Ces théorèmes sont omniprésents en statistiques et en sciences des données. La LGN est essentielle dans les estimations par échantillonnage, permettant de garantir que les moyennes obtenues par échantillon sont proches de la moyenne réelle. Le TCL facilite l'utilisation de la statistique inférentielle et est à la base de nombreux tests statistiques et intervalles de confiance.
Les théorèmes limites, et en particulier la LGN et le TCL, sont des piliers fondamentaux des statistiques et de la théorie des probabilités. Ils fournissent un cadre pour analyser et tirer des conclusions valides à partir de données échantillonnées. En maîtrisant ces concepts, vous pourrez mieux comprendre et appliquer les méthodes statistiques dans divers domaines.