Analyse en composantes principales (ACP)
Analyse en composantes principales (ACP)
L'analyse en composantes principales (ACP) est une technique d'analyse statistique qui permet de simplifier la complexité des données multivariées tout en conservant autant d'information que possible. Cette méthode réduit les dimensions des données en transformant une grande série de variables corrélées en un ensemble plus petit de variables non corrélées appelées composantes principales.
Principe de l'ACP
L'ACP vise à expliquer la variabilité des données en utilisant un nombre réduit de composantes principales. Chaque composante principale est une combinaison linéaire des variables d'origine et est choisie de manière à maximiser la variance des données projetée dans la direction de cette composante. Les premières composantes principales capturent la majorité de la variance totale des données.
Étapes de l'ACP
- Calcul de la matrice de covariance ou de corrélation : La première étape consiste à normaliser les données si nécessaire et à calculer la matrice de covariance ou de corrélation, qui mesure les relations entre les différentes variables.
- Calcul des valeurs propres et vecteurs propres : Ensuite, les valeurs propres et leurs vecteurs associés (vecteurs propres) sont calculés. Les valeurs propres indiquent l'importance des composantes principales, tandis que les vecteurs propres définissent la direction de ces composantes.
- Formation des composantes principales : Les données d'origine sont projetées sur les vecteurs propres pour former les nouvelles variables non corrélées, c'estàdire les composantes principales.
- Sélection des composantes principales : Les premières composantes qui expliquent la plus grande part de la variance sont retenues pour l'analyse. En général, on considère les composantes dont les valeurs propres sont supérieures à 1.
Avantages de l'ACP
- Réduction de la dimensionnalité : L'ACP permet de réduire le nombre de variables à analyser et facilite l'interprétation des données.
- Visualisation : En réduisant les dimensions des données, il devient plus aisé de les visualiser, par exemple, en utilisant des graphiques en 2D ou 3D.
- Elimination du bruit : L'ACP peut aider à éliminer le bruit en filtrant les variables qui contribuent peu à la variance totale des données.
Limitations de l'ACP
- Interprétation : Les composantes principales peuvent parfois être difficiles à interpréter, surtout si elles sont des combinaisons linéaires complexes des variables originales.
- Hypothèses : L'ACP repose sur l'hypothèse que les relations entre les variables sont linéaires, ce qui n'est pas toujours le cas dans les données réelles.